Der Palazzo, vom Historiker Carlo Morelli im 18. Jh. als das „schönste Haus, das in jener Zeit in unserer Stadt existierte“ umschrieben, wurde 1587 vom Grafen Giovanni Cobenzl erbaut und ging in Folge an die Görzer Adelsfamilie Codelli. Diese ließ ihn erweitern und schenkte ihn 1749 dem Staat, um es zum Sitz des Erzbischofs zu machen, der sich hier 1751 niederließ.
Im Inneren des Palazzo Cobenzl, aber direkt von der Via Arcivescovado aus zugänglich, befindet sich die Kapelle der Lobpreisung des Kreuzes. Wie eine Inschrift im Fußboden bezeugt, wurde diese 1746 auf Initiative von Agostino Codelli, Baron von Fahnenfeld, errichtet. Das Gebäude zeichnet sich durch seinen ovalen Grundriss und sein Deckengewölbe aus. Unter der Ausstattung sticht der Mazzoleni zugeschriebene Marmoraltar im Rokoko-Stil mit dem Tabernakel in weißem Marmor und dem von Engelstatuen gestützten Altar hervor. Zum historisch-künstlerischen Erbe des erzbischöflichen Hofs zählen die Malereien aus dem 17. und 18. Jh., die Porträts der Familie Strassoldo und das reichhaltige Archiv an schriftlichen Zeugnissen.